LOS NÚMEROS TOLTECAS, Título: Los Números Toltecas
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Nota Para un mejor entendimiento del contenido de este libro, recomiendo al lector tomar en cuenta las siguientes convenciones: - Mesoamérica es el nombre que dan los investigadores a la región en la cual se desarrollaron las antiguas culturas de México; incluye los territorios de México, Guatemala, El Salvador, Honduras y parte de Nicaragua. En estas páginas, llamaré a esa zona por su nombre propio en lengua nawatl: Anawak, el límite del agua. - El producto cultural de Anawak fue llamado por los pueblos de habla nawatl Toltekayotl, toltequidad, un término derivado del título Toltekatl, persona culta. En adelante emplearé el término “tolteca” en su sentido original, como un denominador genérico de todos los moradores cultos de Anawak. - Los nombres de los números vigesimales se expresan en nawatl clásico, debido a que esta lengua llegó a ser de uso común en todo el Anawak, y recogió los logros culturales de los toltecas. Además, tales nombres reflejan nítidamente las reglas de composición y escritura de las cantidades. - A fin de propiciar la correcta pronunciación de los términos en nawatl, estos se escribirán con ortografía fonética, de modo que se deben leer tal como están escritos, según los valores actuales del alfabeto español. El saltillo, representado por un apóstrofe (’), consiste en una breve suspensión del sonido, sin aspirado. La combinación LL se pronuncia como una L larga. Todas las palabras del nawatl, excepto los monosílabos, son graves (se acentúan en la penúltima sílaba). Introducción Desde el momento en que los invasores europeos talaron el árbol de la civilización indoamericana, y durante más de cuatro siglos, las ciencias toltecas quedaron sepultadas en el olvido. Con ello, la humanidad perdió la posibilidad de usar en su beneficio la experiencia acumulada por los pueblos nativos de América durante milenios de desarrollo autónomo. A fines del siglo 18, el despertar de la conciencia histórica entre los europeos motivó a grandes hombres del pensamiento a investigar las antiguas culturas. En unos pocos años, Europa descubrió, fascinada, el esplendor de las literaturas de la India, China y Arabia; un erudito francés descifró la escritura de los egipcios, y otros sacaron a la luz las olvidadas ciudades de Mesopotamia, Persia y el Cercano Oriente. Después de un siglo de hallazgos que cambiaron radicalmente la imagen que los europeos tenían sobre la historia de la humanidad, la mirada de los investigadores se dirigió a América. Desde el primer momento, quedó claro que, para entender las culturas del México y el Perú antiguos, era necesario descifrar sus matemáticas, ya que estos pueblos le habían dedicado una gran atención a los misterios del número y su representación. Ya en la década de 1830, el erudito turco Samuel Rafinesque-Smaltz estudió el sistema numérico que habían descubierto poco antes los exploradores en las ciudades perdidas de la selva maya, estableciendo correctamente el valor de los puntos y las barras. Cincuenta años más tarde, el estudioso alemán Ernst Förstemann, mientras analizaba unas láminas del Códice de Dresden, se dio cuenta de que los mayas habían empleado dos tipos de numeración: una, estrictamente vigesimal y de carácter civil, y otra calendárica, que contenía una excepción en el orden de las veintenas. De ese modo, logró descifrar las complicadas cuentas del ciclo de Venus. El tercer hito de esta historia ocurrió en el año 1966, cuando el ingeniero mexicano Héctor María Calderón publicó su libro “La ciencia matemática de los mayas”. Basándose en deducciones lógicas, Calderón logró establecer los principios de una aritmética que él llamó “maya”, aunque es aplicable a todos los pueblos de Anawak. También llegó a la conclusión de que los mesoamericanos debieron emplear un tablero de cálculo para facilitar sus operaciones, pues la propia naturaleza de sus números lo sugería. En las siguientes páginas trataremos de seguir la pista de ese hipotético tablero, a través de las evidencias arqueológicas. Las investigaciones emprendidas hasta hoy, han creado las bases para penetrar en uno de los aspectos clave de la cultura mesoamericana. Sin embargo, aún nos falta mucho para saber hasta dónde, realmente, llegó el alcance los números y las ciencias toltecas. Tengo la impresión de que el futuro nos depara grandes sorpresas en tal sentido, y es responsabilidad y privilegio de las nuevas generaciones el darle continuidad a la tarea. Deseo expresar mi agradecimiento a todos los que han participado en esta fascinante historia de desciframiento, tanto en el pasado como en el porvenir; y, en especial, al ingeniero Calderón, a quien dedico esta obra. ---------------- Uno de los aspectos que distinguen a los pueblos del México antiguo, entre las grandes culturas de la tierra, es su fascinación por las matemáticas, ciencia que desarrollaron a un nivel muy alto. Las matemáticas de Anawak eran tan capaces como las nuestras; tenían unas nociones de orden, estructura y conjunto, y un perfecto sistema de simbolización con el cual se podía representar cantidades hasta el infinito. El ingeniero Calderón resume esos logros con las siguientes palabras: La lengua maya tenía vocablos para las operaciones de suma, resta, multiplicación y división; conceptos tales como infinito, cero, remanente, igualdad, identidad, fracción y muchos otros... numerales rojos para indicar los valores negativos y negros para los positivos... Posiblemente, tuvieron un signo equivalente a nuestro punto decimal y ábacos más perfectos que los chinos. (La ciencia matemática de los mayas) Lo mismo podríamos decir de la lengua nawatl y, seguramente, de las otras lenguas cultas de Anawak, pues las matemáticas no fueron propiedad de un pueblo en particular, sino un legado común de todos los mesoamericanos. Para apreciar en su esplendor el alcance de aquella ciencia, vale la pena conocer la historia de los números en nuestra propia cultura. Para nosotros, es muy sencillo hablar de cantidades como un millón, un billón, etcétera; pero, llegar a tales conceptos nos tomó miles de años de desarrollo. Los antiguos griegos, egipcios, hebreos y romanos no sabían representar el cero ni tenían idea del orden por posiciones. Cuando el científico griego Arquímedes (287 antes de Cristo) escribió un ensayo sobre los números, no encontró un término superior a la miríada (diez mil) para denominar cantidades, por lo que, a partir de ahí, tuvo que contar por “miríadas de miríadas”. Sólo a fines de la Edad Media, por influencia de los árabes – quienes habían obtenido dicho adelanto de los hindúes –, los europeos desarrollaron la noción de la cifra y el orden decimal. Poco después, los comerciantes Italianos introdujeron la palabra “milion” para referirse a un millar de millares. En cuanto al billón, tuvo que esperar para su nacimiento a que el matemático francés N. Chuquet lo inventara hacia el 1500. Y un concepto como el de “infinito” no tuvo signo propio hasta 1656, cuando el matemático inglés J. Wallis empleó para ese efecto un ocho colocado en posición horizontal (∞). La situación en Anawak fue diferente. Los hallazgos han demostrado que, por lo menos desde mediados del primer milenio antes de Cristo, los olmecas ya conocían las cifras y los órdenes, lo cual implica el dominio del concepto del cero matemático. Asimismo, las fechas que inscribieron en sus estelas de piedra demuestran que sabían trabajar con los números negativos; e incluso diseñaron un signo en forma de espiral que hoy conocemos como Glifo de Serie Inicial, cuyo significado literal, en el contexto de una cuenta calendárica, es “infinitos órdenes vigesimales”. Estos inventos facilitaron las operaciones aritméticas de tal manera que, muy pronto, los mesoamericanos pasaron al estudio y representación de los grandes números. Por ejemplo, la estela 10 de la ciudad maya de Tikal, construida a comienzos de la era cristiana, contiene una fecha escrita con nueve cifras, que hacen un total de 68 millones 116 mil años. Otra estela en dicha ciudad representa una fecha de hace 400 millones de años, expresada en el número de días transcurridos desde entonces. El signo numérico más elevado que han descubierto los arqueólogos en las inscripciones mayas vale 64 millones de unidades, pero la lengua maya contiene el término Oshlahundzacab, que significa decimotercer orden calendárico, cuyo valor matemático es de casi 74 mil billones de unidades. El énfasis en las matemáticas no era exclusivo de las clases cultas de Anawak. También el ciudadano común y corriente sentía fascinación por el misterio de los números, tal como se revela en la costumbre de poner a los niños recién nacidos nombres formados por un número y un signo. Las exigencias de la vida cotidiana, tales como la medida y repartición de los campos, la conducción del agua y el cálculo de masas y resistencias necesario para la construcción de las grandes pirámides, aunadas al reto intelectual de descifrar las leyes del movimiento de los astros, obligaron a los sabios de Anawak a estudiar la representación del número, y a solucionar problemas aritméticos y geométricos. Hacia la época del esplendor olmeca, a fines del segundo milenio antes de Cristo, esos sabios realizaron un descubrimiento de excepcional importancia, que nuestra cultura moderna aún no ha sabido implementar en un nivel popular: la estructura de la cifra. Ello les permitió representar científica o racionalmente el número, así como elaborar fórmulas de cálculo más simples que las que empleamos nosotros en la actualidad. A su vez, la estructura de la cifra generó la noción del orden, la cual dio origen a los conceptos del cero, el infinito y la periodicidad. Finalmente, la representación de las cantidades sugirió, por sí misma, el tablero de cálculo. El interés de los mesoamericanos en las matemáticas propició la construcción de herramientas que facilitaron las operaciones de cálculo, entre las cuales podemos mencionar las siguientes: - El Nepowaltsitsin, calculador, una cuerda de la cual colgaban hilos de diversos colores donde se
apuntaban las cantidades a través de nudos. Donde más se evidencia el alcance de aquellos números es en el calendario de Anawak, verdadero prodigio del intelecto humano. Este mecanismo, basado en las posibilidades de combinación de los conjuntos de números y signos, motivó que las matemáticas toltecas se desarrollaran en un sentido distinto de las nuestras, pero no menos refinado. A través del calendario, los números penetraron en la cosmogonía y la religión de los toltecas, como se ve en el hecho de que las funciones del matemático–astrónomo se unieron con las del sacerdote, pues su objeto de estudio (los números y los ciclos) se entendía como la expresión de la conciencia divina. Por ello, afirma un texto indígena: Quienes calculan cómo cae un año, cómo sigue su camino la cuenta de los días, (cuándo) cae cada una de sus veintenas, quienes de esto se ocupan, a ellos les corresponde hablar de los dioses. (Informantes de Sahagún, Coloquio de los Doce) ---------------- El estudio de las matemáticas toltecas es requisito para entender a los pueblos de Anawak, ya que los secretos de los sabios nativos quedaron cifrados en la magia del número y la proporción. Este trabajo quiere servir como introducción a los interesados en tan fascinante tema. Para facilitar su asimilación, he distribuido los contenidos en treinta lecciones, cada una de las cuales está acompañada por un cuestionario que permite al estudiante evaluar su aprovechamiento, y también facilita la labor de los instructores. Este libro contiene la primera materia del Curso de Toltequidad, impartido en el Centro de Estudios para la Arqueoastronomía y la Calendárica Mesoamericanas. Las materias de este curso son: Primer módulo: Ciencias Toltecas Segundo módulo: Glífica y Literatura Tercer módulo: La Ideología tolteca Cuarto módulo: Historia de Anawak Para más información, le invitamos a consultar la página www.ceacm.com.mx. Frank Díaz Primera Parte 1.1 Las matemáticas del México antiguo estaban basadas en la numeración vigesimal. Ello significa que los órdenes de conversión no multiplicaban por diez, como ocurre entre nosotros, sino por veinte. Tal diseño fue válido para todo el Anawak durante toda su historia. La numeración por veintenas no es originaria de América. Apareció en el Viejo Mundo en la época paleolítica y se conservó entre los celtas, los galeses, los ainos y algunas tribus siberianas. También se percibe su influencia entre los sumerios, pues, aunque este pueblo contaba por docenas, sus tablas de multiplicación incluían diecinueve cifras con sus productos. Aún hoy, los vascos siguen contando por veintenas y quedan vestigios de tal ordenamiento en algunos números del francés (por ejemplo, en el Quatre–vingt, ochenta, y el Quatre–vingt–dix, noventa), en el inglés (Four–score, ochenta), y sobre todo en el danés, cuya nomenclatura es una mezcla de motivos decimales y vigesimales. Algunos investigadores han especulado sobre cuál pudo ser el origen de la numeración por veintenas. A juzgar por los nombres de los números en nawatl, dicho ordenamiento deriva del primitivo uso de los veinte dedos del cuerpo para contar. No obstante, en las lecciones correspondientes a la cosmogonía tolteca, veremos que existe una manera más elegante y científica para explicar la inserción del veinte en Anawak o, por lo menos, su uso continuado, pues refleja una forma de dividir el espacio que tenía la virtud de solucionar un difícil problema de geometría. A pesar de su origen euroasiático, las matemáticas vigesimales alcanzaron su mayor esplendor en el México antiguo; fue aquí donde se transformaron en una verdadera ciencia al servicio del conocimiento del mundo. De hecho, la numeración vigesimal es uno de los motivos que caracterizan a la cultura mesoamericana. Este desarrollo se debió al ingenio de un pueblo cuyo nombre propio se desconoce, pero al que, en la actualidad, llamamos “olmeca”. Los olmecas fueron los civilizadores de Anawak. Aparecieron de manera repentina hacia el tercer milenio antes de Cristo y, poco después, inventaron las artes, la escritura, el calendario y la urbanización. Fueron estos logros, así como las necesidades derivadas de la organización de aquella sociedad, los que les motivaron a perfeccionar las matemáticas. Los pueblos que sucedieron a los olmecas, tales como los zapotecas, los mayas y los nahuas, recogieron aquel saber y lo adaptaron a sus propias necesidades, pero reconociendo siempre la deuda de gratitud que tenían para con los viejos Maestros fundadores de la Toltequidad. Los principales conceptos de las matemáticas toltecas eran: La escritura de los números se basaba en siete inventos realizados por los sabios de Anawak, que
fueron: A partir de estos inventos, los pueblos de habla nawatl organizaron los números en ocho categorías
lingüísticas, casi todas reflejadas en la escritura jeroglífica; estas eran: |
